线性代数：数量矩阵学习笔记
一、数量矩阵的定义
数量矩阵（或称单位矩阵）是一个 n×nn \times nn×n 的方阵，对角线上的元素为 111，其余元素都为 000。通常用 I\boldsymbol{I}I 或 E\boldsymbol{E}E 表示，有时根据上下文也会使用 In\boldsymbol{I}_nIn 或 En\boldsymbol{E}_nEn 来表示一个 n×nn \times nn×n 的数量矩阵。
I=(10⋯001⋯0⋮⋮⋱⋮00⋯1)In=(10⋯001⋯0⋮⋮⋱⋮00⋯1)(n阶)
\begin{aligned}
& \boldsymbol{I}=\begin{pmatrix}1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 1\end{pmatrix} \\
& \boldsymbol{I}_n=\begin{pmatrix}1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 1\end{pmatrix}\quad(n \text{阶})
\end{aligned}
I=10⋮001⋮0⋯⋯⋱⋯00⋮1In=10⋮001⋮0⋯⋯⋱⋯00⋮1(n阶)
二、数量矩阵的性质
2.1 数量矩阵与矩阵加法
设 A\boldsymbol{A}A 是一个 m×nm \times nm×n 的矩阵，则有
A+0=A\boldsymbol{A} + \boldsymbol{0} = \boldsymbol{A}A+0=A
其中，0\boldsymbol{0}0 表示与 A\boldsymbol{A}A 维数相同的全 000 矩阵。由于 I\boldsymbol{I}I 的对角线上元素为 111，其余元素为 000，因此有
A+I=A+E=E+A\boldsymbol{A} + \boldsymbol{I} = \boldsymbol{A} + \boldsymbol{E} = \boldsymbol{E} + \boldsymbol{A}A+I=A+E=E+A
2.2 数量矩阵与矩阵乘法
设 A\boldsymbol{A}A 是一个 m×nm \times nm×n 的矩阵，则有
AIn=AImA=A
\begin{aligned}
\boldsymbol{AI}_n=\boldsymbol{A} & \\
\boldsymbol{I}_m\boldsymbol{A}=\boldsymbol{A} &
\end{aligned}
AIn=AImA=A
2.3 数量矩阵与矩阵转置
(In)T=In(AA−1)T=A−1AT(AT)−1=(A−1)T
\begin{aligned}
\left( \boldsymbol{I}_n \right)^T &= \boldsymbol{I}_n \\
\left( \boldsymbol{A} \boldsymbol{A}^{-1} \right)^T &= \boldsymbol{A}^{-1} \boldsymbol{A}^T \\
\left( \boldsymbol{A}^T \right)^{-1} &= \left( \boldsymbol{A}^{-1} \right)^T
\end{aligned}
(In)T(AA−1)T(AT)−1=In=A−1AT=(A−1)T
2.4 数量矩阵的行列式和逆矩阵
由于 I\boldsymbol{I}I 的对角线上元素都为 111，因此有
det(I)=1\det \left( \boldsymbol{I} \right) = 1det(I)=1
同时，I\boldsymbol{I}I 可逆且其逆矩阵为它本身，即
I−1=I\boldsymbol{I}^{-1} = \boldsymbol{I}I−1=I
三、总结
本文介绍了数量矩阵的定义和性质，包括与矩阵加法、矩阵乘法、矩阵转置相关的性质，以及与行列式和逆矩阵相关的性质。希望这些内容能够帮助大家更好地理解和掌握线性代数中的数量矩阵。